Question

（2009•临沂一模）甲、乙两人进行射击训练，命中率分别为

2

3

与P，且乙射击2次均未命中的概率为

1

16

，
（I）求乙射击的命中率；
（Ⅱ）若甲射击2次，乙射击1次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）设“甲射击一次命中”为事件A，“乙射击一次命中”为事件B，由题意得(1-P(B))2=(1-P)2=

1

16

，解方程即可求解
（II）由题意和（I）知P(A)=

2

3

，P(

.

A

)=

1

3

，P(B)=

3

4

，P(

.

B

)=

1

4

．，ξ可能的取值为0，1，2，3，根据相互独立事件的概率公式求解出每种情况下的概率即可求得ξ的分布列，进而可求期望值

解答：解：（I）设“甲射击一次命中”为事件A，“乙射击一次命中”为事件B
由题意得(1-P(B))2=(1-P)2=

1

16

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（4分）
解得P=

3

4

或P=

5

4

（舍去），┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（5分）
故乙射击的命中率为

3

4

．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）
（II）由题意和（I）知P(A)=

2

3

，P(

.

A

)=

1

3

，P(B)=

3

4

，P(

.

B

)=

1

4

．
ξ可能的取值为0，1，2，3，
P(ξ=0)=P(

.

A

)P(

.

A

)P(

.

B

)=

1

3

×

1

3

×

1

4

=

1

36

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（7分）P(ξ=1)=2P(A)P(

.

A

)P(

.

B

)+P(

.

A

)P(

.

A

)P(B)=2×

2

3

×

1

3

×

1

4

+

1

3

×

1

3

×

3

4

=

7

36

．（8分）P(ξ=3)=P(A)P(A)P(B)=

2

3

×

2

3

×

3

4

=

12

36

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（9分）P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=1-

1

36

-

7

36

-

12

36

=

16

36

┉┉┉（10分）
故ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	1 36	7 36	16 36	12 36

由此得ξ的数学期望Eξ=0×

1

36

+1×

7

36

+2×

16

36

+3×

12

36

=

25

12

┉┉┉（12分）

点评：本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，离散型随机变量的分布列及期望值的求解．