Question

已知点集L={(x，y)|y=

m

•

n

}，其中

m

=(2x-b，1)，

n

=(1，1+b)，又知点列P_n（a_n，b_n）∈L，P₁为L与y轴的交点．等差数列{a_n}的公差为1，n∈N^*．
（Ⅰ）求P_n（a_n，b_n）；
（Ⅱ）若f(n)=

an，n=2k-1 bn，n=2k

k∈N*，f(k+11)=2f(k)，求出k的值；
（Ⅲ）对于数列{b_n}，设S_n是其前n项和，是否存在一个与n无关的常数M，使

Sn

S2n

=M，若存在，求出此常数M，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题设有L={（x，y）|y=2x+1}，可得直线y=2x+1，它与y轴的交点为（0，1）可求a₁=0，又数列{a_n}是等差数列可求a_n=n-1，b_n=2n-1，从而可求 
（II）由f(n)=

an bn

 =

n-1，n=2k-1 2n-1，n=2k

(k∈N*)，从而分k为奇数时，k为偶数代入求解
（III）由b_n=2n-1可求S_n=n²，代入

Sn

S2n

=M求解即可

解答：解：（I）由题设有L={（x，y）|y=2x+1}，故L为直线y=2x+1，它与y轴的交点为P₁（0，1）（2分） 
∴a₁=0，又数列{a_n}是以1为公差的等差数列，所以a_n=n-1，b_n=2a_n+1=2（n-1）+1=2n-1
故P_n（n-1，2n-1）（5分） 
（II）f(n)=

an bn

 =

n-1，n=2k-1 2n-1，n=2k

(k∈N*)（5分） 
当k为奇数时，f（k+11）=2f（k）⇒2（k+11）-1=2（k-1）⇒k不存在；
当k为偶数时，f（k+11）=2f（k）⇒（k+11）-1=2（2k-1）⇒k=4．  （10分） 
（III）∵b_n=2n-1，∴S_n=n²，假设存在与n无关的常数M，使

Sn

S2n

=M
即

n2

(2n)2

=M⇒M=

1

4

，故存在与n无关的常数M=

1

4

，使

Sn

S2n

=M． （14分）

点评：本题以新定义为切入点考查了向量 的数量积的坐标表示，等差数列的通项公式及求和公式的应用