Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为线段AD₁上的点，且满足

D1P

=λ

PA

(λ＞0)．
（Ⅰ）当λ=1时，求证：平面ABC₁D₁⊥平面PDB；
（Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥D-PBC₁的体积恒为定值；
（Ⅲ）求异面直线C₁P与CB₁所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）如图，以点D为坐标原点，建立如图所示的坐标系．当λ=1时，分别求出平面PDB的法向量及平面ABC₁D₁的法向量，然后代入向量数量积公式，可得两个平面的法向量的数量积为0，由此可得平面ABC₁D₁⊥平面PDB；
（Ⅱ）根据正方体的几何特征，我们易得三角形PBC₁的面积为定值，D到平面PBC₁的距离为定值，则三棱锥D-BPC₁的体积为定值．
（III）分别确定异面直线C₁P与CB₁的方向向量（含参数λ），代入数量积公式后，易得两个方向向量的数量积为0，即异面直线C₁P与CB₁所成的角的余弦值恒为0．

解答：证明：如图，以点D为坐标原点，建立如图所示的坐标系．
（Ⅰ）当λ=1时，即点P为线段AD₁的中点，则P(

1

2

，0，

1

2

)，又D（0，0，0）、B（1，1，0）
∴

PD

=(-

1

2

，0，-

1

2

)，

PB

=(

1

2

，1，-

1

2

)，设平面PDB的法向量为

n

=(x，y，z)，…（1分）
则

PD • n = 0 PB • n = 0

，即

- 1 2 x+0- 1 2 z=0 1 2 x+y- 1 2 z=0

，令y=1，解得

n

=(-1，1，1)，…（2分）
又∵点P为线段AD₁的中点，∴DP⊥AD₁，∴DP⊥平面ABC₁D₁，
∴平面ABC₁D₁的法向量为

PD

=(-

1

2

，0，-

1

2

)，…（3分）
∵

PD

•

n

=

1

2

+0-

1

2

=0，
∴平面ABC₁D₁⊥平面PDB，…（4分）
（Ⅱ）∵AD₁∥BC₁，P为线段AD₁上的点，
∴三角形PBC₁的面积为定值，即S△PBC1=

1

2

×

2

×1=

2

2

，…（6分）
又∵CD∥平面ABC₁D₁，
∴点D到平面PBC₁的距离为定值，即h=

2

2

，…（8分）
∴三棱锥D-BPC₁的体积为定值，即VD-PBC1=

1

3

•S△PBC1•h=

1

3

×

2

2

×

2

2

=

1

6

．
也即无论λ为何值，三棱锥D-PBC₁的体积恒为定值

1

6

；…（10分）
解：（Ⅲ）∵

D1P

=λ

PA

(λ＞0)，∴P(

λ

1+λ

，0，

1

1+λ

)，…（11分）
又C₁（0，1，1）、C（0，1，0）、B₁（1，1，1），
∴

C1P

=(

λ

1+λ

，-1，

-λ

1+λ

)，

CB1

=(1，0，1)，…（12分）
∵

C1P

•

CB1

=

λ

1+λ

+0+

-λ

1+λ

=0…（13分）
∴不管λ取值多少，都有C₁P⊥CB₁，即异面直线C₁P与CB₁所成的角的余弦值为0．…（14分）

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，棱锥的体积，平面与平面垂直的判定，（1）（3）的关键是建立空间坐标系，将面面夹角及线线夹角转化为向量夹角问题，（2）的关键是根据正方体的几何特征得到线线平行及线面平行，进而得到点到线，点到面的距离为定值．