Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点P（S_n，a_n）在直线（3-m）x+2my-m-3=0上，（m∈N^*，m为常数，m≠3）；
（1）求a_n；
（2）若数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足，求证：为等差数列，并求b_n；
（3）设数列{c_n}满足c_n=b_n•b_n+2，T_n为数列{c_n}的前n项和，且存在实数T满足T_n≥T，（n∈N*），求T的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设，（3-m）S_n+2ma_n-m-3=0，所以，故（3-m）S_n-1+2ma_n-1-m-3=0，由此能求出a_n．
（2）由，得，由此能得到为等差数列，并能求出b_n．
（3）由，知T_n为数列{c_n}的前n项和，，由此能求出T的最大值．
解答：解：（1）由题设，（3-m）S_n+2ma_n-m-3=0①（1分）
∴（2分）
由①，n≥2时，（3-m）S_n-1+2ma_n-1-m-3=0②（3分）
①-②得，，（4分）
∴．（5分）
（2）由（1）知，
化简得：（7分）
∴是以1为首项、为公差的等差数列，（8分）
∴∴．（10分）
（3）由（2）知．T_n为数列c_n的前n项和，因为c_n＞0，
所以T_n是递增的，．（12分）
所以要满足T_n≥T，（n∈N*），∴（13分）
所以T的最大值是（14分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法和等差数列的证明，考查数列前n项和最小值最大是多少．解题时要认真审题，仔细解答，注意数列性质的合理运用．