Question

11．已知函数f（x）=x³+bx²+d在区间（0，2）内为减函数，且2是函数的一个零点，则f（1）的最小值为2．

Answer 1

分析 求得函数的导数，由题意可得3x²+2bx≤0在（0，2）恒成立，即为-2b≥3x，即有-2b≥6，求得b的范围，再由零点的定义可得f（1）=0，可得d，b的关系，求得f（1）的解析式，化为b的式子，即可得到最小值．

解答 解：函数f（x）=x³+bx²+d的导数为f′（x）=3x²+2bx，
由f（x）在区间（0，2）内为减函数，可得3x²+2bx≤0在（0，2）恒成立，
即为-2b≥3x，即有-2b≥6，解得b≤-3，
由2是函数的一个零点，即f（2）=0，8+4b+d=0，即有d=-8-4b，
则f（1）=1+b+d=1+b-8-4b=-7-3b≥-7+9=2．
故f（1）的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查导数的运用：判断单调性，考查不等式恒成立思想的运用，以及函数的零点的定义，考查运算能力，属于中档题．