Question

已知函数f（x）=sin2x-2sin²x．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）求函数f（x）的零点的集合．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用三角恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出最值．
（2）令f（x）=0求出方程的根，及函数的零点．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin2x-2sin²x=sin2x-cos2x+1=

2

sin(2x-

π

4

)+1
当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

时，即x=kπ+

3π

8

（k∈Z）
f(x)max=

2

+1
（2）令f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)+1=0
解得：2x-

π

4

=2kπ-

π

4

或2x-

π

4

=2kπ-

3π

4

（k∈Z）
即x=kπ或x=kπ-

π

4

（k∈Z）时函数f（x）=0
即{x|x=kπ或x=kπ-

π

4

}（k∈Z）
故答案为：（1）f(x)max=

2

+1
（2）{x|x=kπ或x=kπ-

π

4

}（k∈Z）

点评：本题考查的知识要点：三角恒等式的变换，正弦型函数的最值，及函数的零点．