Question

【题目】某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N（168，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；
（Ⅱ）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
参考数据：若ξ﹣N（μ，σ2），则p（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，p（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，p（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为 ， 高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168）
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0.02+0.01）×4=0.2，人数为0.2×5=10，即这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人数为10人．
（Ⅲ）∵P（168﹣3×4＜ξ≤168+3×4）=0.9974，∴ ，0.0013×100 000=130．
所以，全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人．
随机变量ξ可取0，1，2，于是 ， ， ，
∴
【解析】（I）高三男生的平均身高用组中值×频率，即可得到结论；（II）首先理解频数分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即：每组中包含个体的个数．我们可以依据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数．（III）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在172cm以上，这50人中172cm以上的有2人，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．