Question

19．函数f（x）是（0，+∞）上单调递增函数，当n∈N^*时，f（n）∈N^*，且f[f（n）]=3n，则f（3ⁿ）的值等于2•3ⁿ．

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）是（0，+∞）上单调递增函数，当n∈N^*时，f（n）∈N^*，且f[f（n）]=3n，可得f（1）=2，f（3）=6，f（9）=18，f（27）=54，归纳可得答案．

解答 解：∵f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，f[f（n）]=3n 
∴f（f（1））=3，且f（1）≠1 （若f（1）=1，则f（f（1））=f（1）=3，与f（1）=1矛盾）
∵f（x）∈N^*
∴f（1）≥2
∴f（2）≤f（f（1）），∵f（f（1））=3，∴f（2）≤3，
故f（1）=2，f（2）=3，
∴f（3）=f（f（2））=6，
∴f（6）=f（f（3））=9，
∴f（9）=f（f（6））=18，
∴f（18）=f（f（9））=27，
∴f（27）=f（f（18））=54，
…
归纳可得：f（3ⁿ）=2•3ⁿ，
故答案为：2•3ⁿ

点评 本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．