Question

已知等差数列{a_n}的首项为a（a∈R，a≠0）．设数列的前n项和为S_n，且对任意正整数n都有

a2n

an

=

4n-1

2n-1

．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（2）是否存在正整数n和k，使得S_n，S_n+1，S_n+k成等比数列？若存在，求出n和k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，把n=1代入已知式子可得

a2

a1

=3，可得d=2a，可得通项公式，进而可得前n项和；
（2）由（1）知Sn=n2a，进而可得S_n+1，S_n+k的表达式，由等比数列可得S²_n+1=S_nS_n+k，化简可得n（k-2）=1，由于n、k均是正整数，可得n=1，k=3

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
在

a2n

an

=

4n-1

2n-1

中，令n=1 可得

a2

a1

=3，即

a+d

a

=3
故d=2a，a_n=a₁+（n-1）d=（2n-1）a．
经检验，

a2n

an

=

4n-1

2n-1

恒成立
所以a_n=（2n-1）a，Sn=[1+3+…(2n-1)]a=n2a
（2）由（1）知Sn=n2a，Sn+1=(n+1)2a，Sn+k=(n+k)2a
假若S_n，S_n+1，S_n+k成等比数列，则S²_n+1=S_nS_n+k，
即知a²（n+1）⁴=an²a（n+k）²，
又a≠0，n，k∈N^*，∴（n+1）²=n（n+k），
整理可得n（k-2）=1，由于n、k均是正整数，∴n=1，k=3
故存在正整数n=1和k=3符合题目的要求．

点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及等比关系的确定，属中档题．