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    已知数列{an}，{bn}，其中a1=
    1
    2
    ，数列{an}的前n项和Sn=n2an（n≥1），数列{bn}满足b1=2，bn+1=2bn．
    （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+
    1
    b1
    +
    1
    b2
    +…+
    1
    bn-1
    ＜
    m-8
    4
    恒成立？若存在，求出m的最小值；
    （Ⅲ）若数列{cn}满足cn=
    1
    nan
    ，n为奇数
    bn，n为偶数
    当n是偶数时，求数列{cn}的前n项和Tn．
    （Ⅰ）因为Sn=n2an（n≥1），
    当n≥2时，Sn-1=（n-1）2an-1．
    所以an=Sn-Sn-1=n2an-（n-1）2an-1．
    所以（n+1）an=（n-1）an-1．
    即
    an
    an-1
    =
    n-1
    n+1
    ．
    又a1=
    1
    2
    ，
    所以an=
    an
    an-1
    •
    an-1
    an-2
    •
    an-2
    an-3
    ••
    a3
    a2
    •
    a2
    a1
    •a1    =
    n-1
    n+1
    •
    n-2
    n
    •
    n-3
    n-1
    ••
    2
    4
    •
    1
    3
    •
    1
    2
    =
    1
    n(n+1)
    ．
    当n=1时，上式成立
    因为b1=2，bn+1=2bn，
    所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn=2n．
    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=2n．
    则1+
    1
    b1
    +
    1
    b2
    ++
    1
    bn-1
    =1+
    1
    2
    +
    1
    22
    ++
    1
    2n-1
    =2-
    1
    2n-1
    ．
    假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+
    1
    b1
    +
    1
    b2
    ++
    1
    bn-1
    ＜
    m-8
    4
    恒成立，
    即2-
    1
    2n-1
    ＜
    m-8
    4
    恒成立．
    由
    m-8
    4
    ≥2    ，解得m≥16．
    所以存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+
    1
    b1
    +
    1
    b2
    ++
    1
    bn-1
    ＜
    m-8
    4
    恒成立．此时m的最小值为16．
    （Ⅲ）当n是奇数时，Tn=[
    1
    a1
    +
    1
    3a3
    ++
    1
    nan
    ]+(b2+b4++bn-1)
    =（2+4++n+1）+（22+24++2n-1）=
    2+n+1
    2
    •
    n+1
    2
    +
    4(1-4
    n-1
    2
    )
    1-4

    =
    n2+4n+3
    4
    +
    4
    3
    (2n-1-1)    ．
    当n是偶数时，Tn=[
    1
    a1
    +
    1
    3a3
    ++
    1
    (n-1)an-1
    ]+(b2+b4++bn)
    =（2+4++n）+（22+24++2n）=
    2+n
    2
    •
    n
    2
    +
    4(1-4
    n
    2
    )
    1-4
    =
    n2+2n
    4
    +
    4
    3
    (2n-1)    ．
    因此Tn=
    n2+4n+3
    4
    +
    4
    3
    (2n-1-1)，当n为奇数时
    n2+2n
    4
    +
    4
    3
    (2n-1)，??当n为偶数时.
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    an+1
    an
    =
    1
    2
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    ann
    +1    ，试证明数列{bn}为等比数列；
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    an=
    5
          n=1
    2n+2
        n≥2
    an=
    5
          n=1
    2n+2
        n≥2
    ．

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    2n
    2n
    ．

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