Question

设数列满足且
（Ⅰ）求的值，使得数列为等比数列；（Ⅱ）求数列和的通项公式；
（Ⅲ）令数列和的前项和分别为和，求极限的值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ），．
（Ⅲ）

（Ⅰ）令，其中为常数，若为等比数列，则存在使得
．
又．
所以．
由此得2分
由及已知递推式可求得，把它们代入上式后得方程组
  消去解得．…4分
下面验证当时，数列为等比数列．
 ，
，从而是公比为的等比数列．
同理可知是公比为的等比数列，于是为所求．……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得，，解得
，．…9分
（Ⅲ）令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为；令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为． 由第（Ⅱ）问得，．
． 由于数列的公比，则．
，由于，则，
于是，所以……12