Question

已知递增的等比数列{a_n}的前三项之积为512，且这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若Tn=

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）分别设出递增等比数列的前3项，由题意结合等比数列的性质求解前两项，则公比可求，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把a_n代入Tn=

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

，利用错位相减法求T_n．

解答：（1）解：设递增的等比数列{a_n}的前三项分别为a₁，a₂，a₃，
则a₁a₂a₃=512，∴a₂=8．
又这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列，
则2（a₂-3）=a₁-1+a₃-9，即a₁+a₃=20．
又∵a1a3=a22=64，且a₁＜a₃，∴a₁=4，a₃=16，
∴等比数列{a_n}的公比q=2．
∴an=a1qn-1=4•2n-1=2n+1；
（2）证明：令bn=

n

an

=

n

2n+1

=n(

1

2

)n+1，
则T_n=b₁+b₂+…+b_n
=1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1，①

1

2

Tn=(

1

2

)3+2•(

1

2

)4+…+(n-1)•(

1

2

)n+1+n•(

1

2

)n+2，②
①-②得：

1

2

Tn=(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n+1-n•(

1

2

)n+2，
即Tn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1，
∴Tn=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1=1-(1+

n

2

)•(

1

2

)n．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．