Question

如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y²=2x于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）写出直线l的方程；
（2）求x₁x₂与y₁y₂的值；
（3）求证：OM⊥ON．

Answer 1

分析：对于（Ⅰ）已知直线过点P（2，0）且斜率为k，可根据直线的点斜式方程代入求解．即可得到答案．
对于（Ⅱ）求x₁x₂与y₁y₂的值．可把抛物线方程和直线方程联立得到方程k²x²-2（k²+1）x+4k²=0．又可以分析到点M，N的横坐标x₁与x₂是②的两个根，有韦达定理可以直接求出，再代入抛物线方程求y₁y₂的值．
对于（Ⅲ）求证：OM⊥ON．可把OM，ON的斜率分别表示出来，相乘，然后根据两直线的斜率的积为-1，证明两直线垂直．

解答：（Ⅰ）解：直线l过点P（2，0）且斜率为k，故可直接写出直线l的方程为y=k（x-2） （k≠0）①
（Ⅱ）解：由①及y²=2x消去y代入可得k²x²-2（k²+1）x+4k²=0．②
则可以分析得：点M，N的横坐标x₁与x₂是②的两个根，
由韦达定理得x1x2=

4k2

k2

=4.
又由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂得到（y₁y₂）²=4x₁x₂=4×4=16，又注意到y₁y₂＜0，
所以y₁y₂=-4．
（Ⅲ）证明：设OM，ON的斜率分别为k₁，k₂，
则k1=

y1

x1

，k2=

y2

x2

.相乘得k1k2=

y1y2

x1x2

=

-4

4

=-1，
所以证得：OM⊥ON．

点评：此题主要考查直线与抛物线相交后的一系列问题，其中涉及到韦达定理的考查，在交点问题的求法中应用很广泛，需要理解记忆．