Question

11．已知△ABC的面积为3，且满足2$\sqrt{3}$≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，设$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f（θ）=2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-cos2θ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由△ABC的面积为3，可得bc=$\frac{6}{sinθ}$．由2$\sqrt{3}$≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，可得$2\sqrt{3}≤$bccosθ≤6，θ∈$（0，\frac{π}{2}）$．化为1≤tanθ≤$\sqrt{3}$，即可得出．
（2）函数f（θ）=2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-cos2θ=$\sqrt{2}sin（2θ-\frac{π}{4}）$+1，利用θ∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$．可得$（2θ-\frac{π}{4}）$∈$[\frac{π}{4}，\frac{5π}{12}]$，即可得出．

解答 解：（1）∵△ABC的面积为3，∴$\frac{1}{2}bcsinθ$=3，∴bc=$\frac{6}{sinθ}$．
∵2$\sqrt{3}$≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤6，
∴$2\sqrt{3}≤$bccosθ≤6，θ∈$（0，\frac{π}{2}）$．
∴$2\sqrt{3}$≤6×$\frac{cosθ}{sinθ}$≤6，
∴1≤tanθ≤$\sqrt{3}$，
∴θ∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$．
（2）函数f（θ）=2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-cos2θ
=$1-cos（\frac{π}{2}+2θ）$-cos2θ
=1+sin2θ-cos2θ
=$\sqrt{2}sin（2θ-\frac{π}{4}）$+1，
∵θ∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$．
∴$（2θ-\frac{π}{4}）$∈$[\frac{π}{4}，\frac{5π}{12}]$，
当$2θ-\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$，即$θ=\frac{π}{4}$时，$sin（2θ-\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时f（θ）取得最小值2．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、三角形面积计算公式、倍角公式、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．