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已知函数g(x)是f(x)=x2(x>0)的反函数,点M(x0,y0)、N(y0,x0)分别是f(x)、g(x)图象上的点,l1、l2分别是函数f(x)、g(x)的图象在M,N两点处的切线,且l1∥l2
(Ⅰ)求M、N两点的坐标;
(Ⅱ)求经过原点O及M、N的圆的方程.

解:(Ⅰ)因为f(x)=x2(x>0),所以
从而f'(x)=2x,
所以切线l1,l2的斜率分别为k1=f'(x0)=2x0
又y0=x02(x0>0),所以
因为两切线l1,l2平行,所以k1=k2
因为x0>0,
所以
所以M,N两点的坐标分别为
(Ⅱ)设过O、M、N三点的圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为圆过原点,所以F=0.因为M、N关于直线y=x对称,所以圆心在直线y=x上.
所以D=E.
又因为在圆上,
所以
所以过O、M、N三点的圆的方程为:
分析:(I)欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在切点处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.最后利用平行直线的斜率相等即可解决问题.
(II)欲求经过原点O及M、N的圆的方程,利用圆的一般方程结合待定系数法求解即可.
点评:本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、圆的一般方程、圆的一般方程的应用等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.
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