Question

18．已知F₁，F₂是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左右焦点，点P在椭圆上，且到左焦点F₁的距离为6，过F₁做∠F₁PF₂的角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 延长F₁M和PF₂交于N，求得椭圆的a=5，运用椭圆的定义和等腰三角形的三线合一，以及三角形的中位线定理，即可得到所求|OM|的值．

解答 解：延长F₁M和PF₂交于N，
椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=5，
由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
由|PF₁|=6，可得|PF₂|=4，
由等腰三角形的三线合一，可得
|PF₁|=|PN|=6，
可得|NF₂|=6-4=2，
由OM为△F₁F₂N的中位线，
可得|OM|=$\frac{1}{2}$|F₂N|=$\frac{1}{2}$×2=1．
故选A．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查等腰三角形的性质和三角形的中位线定理的运用，属于中档题．