Question

12、已知函数y=（e^x-a）²+（e^-x-a）²（a∈R，且a≠0），求y的最小值．

Answer 1

分析：将函数y=（e^x-a）²+（e^-x-a）²展开，令t=e^x+e^-x，找到关于t的关系式y=t²-2at+2a²-2根据二次函数的增减性求值．

解答：解：y=（e^x+e^-x）²-2a（e^x+e^-x）+2a²-2．令t=e^x+e^-x，则f（t）=t²-2at+2a²-2．
∵t=e^x+e^-x≥2，
∴f（t）=（t-a）²+a²-2的定义域为[2，+∞）．
∵抛物线的对称轴方程是t=a，
∴当a≥2时，y_min=f（a）=a²-2；当a＜2且a≠0时，y_min=f（2）=2（a-1）²．

点评：本题主要考查用整体代换法求最值的问题．指数函数的值域和最值问题经常和二次函数联系起来进行解题．