Question

【题目】已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.

(Ⅰ)求抛物线C的方程；

(Ⅱ)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x.（2）－14

【解析】试题分析：（1）由抛物线定义得|MN|＝x1＋x2＋p＝8，再联立直线方程与抛物线方程利用韦达定理得x1＋x2＝3p.代入可得p＝2（2）先根据判别式求出切线方程，再根据向量数量积坐标表示得 (x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]，利用直线方程y＝x＋1，化简得x1＋x2，x1x2关系式，最后联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简得2[(m－2)2－7]≥－14

试题解析：解：(Ⅰ)由题可知F(，0)，则该直线方程为y＝x－，代入y2＝2px(p＞0)，

得x2－3px＋＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p.

∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.

(Ⅱ)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.

∵l为抛物线C的切线，∴Δ＝0，解得b＝1.∴l的方程为y＝x＋1.

设P(m，m＋1)，则＝(x1－m，y1－(m＋1))，＝(x2－m，y2－(m＋1))，

∴·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]

＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.

由(Ⅰ)可知：x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.

∵y－y＝4(x1－x2)，∴y1＋y2＝4＝4，

∴·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2

＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，

当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时，·的最小值为－14