Question

17．已知函数f（x）=ax²+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则$\frac{8a+b}{ab}$的最小值是9．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由f′（1）=2a+b=2，得a+$\frac{b}{2}$=1，把$\frac{8a+b}{ab}$变形为$\frac{8}{b}$+$\frac{1}{a}$后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．

解答 解：由f（x）=ax²+bx，得f′（x）=2ax+b，
又f（x）=ax²+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，
所以f′（1）=2a+b=2，即a+$\frac{b}{2}$=1．
则$\frac{8a+b}{ab}$=$\frac{8}{b}$+$\frac{1}{a}$=（$\frac{8}{b}$+$\frac{1}{a}$）（a+$\frac{b}{2}$）=5+$\frac{8a}{b}$+$\frac{b}{2a}$≥9．
当且仅当$\frac{8a}{b}$=$\frac{b}{2a}$，即a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{4}{3}$时“=”成立．
所以$\frac{8a+b}{ab}$的最小值是9．
故答案为：9．

点评 本题考查了导数的运算，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生灵活变换和处理问题的能力，是中档题．