Question

设f（x）=

2x-2-x

2

，g（x）=

2x+2-x

2

，下列四个结论
（1）f（2x）=2f（x）•g（x）；                       （2）g（2x）=2f（x）•g（x）；
（3）f（2x）=[f（x）]²+[g（x）]²；                    （4）g（2x）=[f（x）]²+[g（x）]²
中恒成立的个数有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据函数f（x）、g（x）的解析式，利用多项式的乘法公式对各个选项中的等式加以验证，即可得到本题答案．

解答：解：对于（1），f（2x）=

22x-2-2x

2

，
∵f（x）•g（x）=

2x-2-x

2

•

2x+2-x

2

=

22x-2-2x

4

，
∴2f（x）•g（x）=2×

22x-2-2x

4

=

22x-2-2x

2

，得f（2x）=2f（x）•g（x），故（1）正确；
对于（2），由（1）的证明可得g（2x）≠2f（x）•g（x），故（2）不正确；
对于（3），f（x）=

2x-2-x

2

，g（x）=

2x+2-x

2

，
∴[f（x）]²+[g（x）]²=（

2x-2-x

2

）²+（

2x+2-x

2

）²=

2•22x+2•2-2x

4

=

22x+2-2x

2

∵f（2x）=

22x-2-2x

2

，∴f（2x）≠[f（x）]²+[g（x）]²，故（3）不正确；
对于（4），由（3）的证明可得g（2x）=

22x+2-2x

2

=[f（x）]²+[g（x）]²，故（4）正确
综上所述，正确的结论为（1）（4），共2个
故选：B

点评：本题给出函数f（x）、g（x）的解析式，判断几个等式的正确性．着重考查了基本初等函数、函数的对应法则和乘法公式等知识，属于中档题．