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将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，
a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1．S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足 $数学公式$ ．
（1）证明： $数学公式$ ；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当 $数学公式$ 时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．

解：（1）证明：由已知， $\text{[math]}$ ，所以，当n≥2时， $\text{[math]}$ ，
又S_n=b₁+b₂+…+b_n，
所以 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
（2）因为S₁=b₁=a₁=1．所以数列 $\text{[math]}$ 是首项为1，公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列．
由上可知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
所以当n≥2时， $\text{[math]}$ ．
因此 $\text{[math]}$
（3）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0．
因为 $\text{[math]}$ ，
所以表中第1行至第13行共含有数列{a_n}的前91项，故a₉₄在表中第14行第三列，
因此 $\text{[math]}$ ．又 $\text{[math]}$ ，所以q=3．
记表中第k（k≥3）行所有项的和为S，
则 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意所给的已知等式特点应考虑应用已知数列的前n项和求其通项这一公式来寻求出路，得到S_n与S、S_n-1之间的递推关系，即可证明所证结果；
（2）利用（1）得到的关系式，先求出S_n的通项公式，即可利用b_n=S_n-S_n-1，求{b_n}的通项公式；
（3）由题意第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，又已知{b_n}的通项公式和a₈₁的值，应该现有规律判断这一向位于图示中的具体位置，有从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数进而求解．
点评：本题重点考查了数列中的已知前n项的和，求解通项公式，还考查了等差数的定义，考查了由题意及图形准确找规律，还考查了等比数列的通向公式及有数列通向求其所有项和，同时还考查了方程的思想．

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