Question

选修4-1：几何证明选讲
如图所示，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E．
（Ⅰ）求证：

AB

AC

=

PA

PC

；
（Ⅱ）求AD•AE的值．

Answer 1

分析：（ I）直接根据∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，进而求出结论；
（ II）先根据切割线定理得到PA²=PB•PC；结合第一问的结论以及勾股定理求出AC=6

5

，AB=3

5

；再结合条件得到△ACE∽△ADB，进而求出结果．

解答：解：（ I）∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴

AB

AC

=

PA

PC

．…（3分）
（ II）∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA²=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
由（ I）知，

AB

AC

=

PA

PC

=

1

2

，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=90°．
∴AC²+AB²=BC²=225，
∴AC=6

5

，AB=3

5

 …（7分）
连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴

AB

AE

=

AD

AC

 …（9分）
∴AD•AE=AB•AC=3

5

×6

5

=90．…（10分）

点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．解决本题第一问的关键在于先由切线PA得到∠PAB=∠ACP．