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    若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的任意n个值x1，x2，…，xn总满足，
    f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
    n
    ≤f(
    x1+x2+x3+…+xn
    n
    )    则称f（x）为D上的凸函数，现已知f（x）=cosx在（0，
    π
    2
    ）上是凸函数，则在锐角△ABC中，cosA+cosB+cosC的最大值是
     
    ．
    分析：利用已知结论，可将cosA+cosB+cosC转化为A+B+C的余弦求解，因为A+B+C=180°为定值，即可得到结论．
    解答：解：利用已知结论，则cosA+cosB+cosC≤3cos（
    A+B+C
    3
    ）=3cos
    π
    3
    =
    3
    2
    ，
    故答案为：
    3
    2
    点评：本题考查演绎推理、考查对式子的观察和运用能力、利用已知结论解决问题的能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=x2+
    2
    x
    +alnx(x＞0)    ，
    （Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
    （Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]≥f(
    x1+x2
    2
    )    成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知函数f(x)=x2+
    2
    x
    +alnx(x＞0)    ，
    （Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
    （Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]≥f(
    x1+x2
    2
    )    成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年广东省高考猜押题卷文科数学（二）解析版 题型：解答题

    （本小题满分14分）

    已知函数

    (Ⅰ)请研究函数的单调性；

    (Ⅱ)若函数有两个零点，求实数的取值范围；

    (Ⅲ)若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.若函

     

    数的最小值为，试判断函数是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明.

     

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    科目：高中数学 来源：2008-2009学年广东省韶关市田家炳中学、乳源高级中学联考高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    已知函数，
    （Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
    （Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

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    科目：高中数学 来源：2007-2008学年广东省华南师大附中高三综合测试数学试卷3（理科）（解析版） 题型：解答题

    已知函数，
    （Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
    （Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

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