Question

长方形ABCD，AB=2，BC=1，将△ADC沿AC翻折，当二面角D-AC-B在（0，π）变化时，四面体ABCD的表面积的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：二面角D-AC-B在（0，π）变化时，BD∈（

3 5

5

，

5

），由海伦公式可得：四面体ABCD的表面积：S=2+2×

BD+3 2 × BD-1 2 × BD+1 2 × 3-BD 2

，分析出函数S的单调性，进而可得S的取值范围．

解答： 解：∵二面角D-AC-B在（0，π）变化时，
BD∈（

3 5

5

，

5

），
由海伦公式可得：四面体ABCD的表面积：
S=2+2×

BD+3 2 × BD-1 2 × BD+1 2 × 3-BD 2

=4+

(9-BD2)(BD2-1) 4

，
令a=BD²，则a∈（

9

5

，5），
S=2+

(9-a)(a-1) 4

=2+

- 1 4 a2+ 5 2 a- 9 4

，
由S=2+

- 1 4 a2+ 5 2 a- 9 4

在（

9

5

，5）为增函数，
故S∈（

16

5

，4）
故答案为：（

16

5

，4）

点评：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，函数的值域，其中求出S的表达式，将问题转化为函数的最值问题，是解答的关键．