Question

已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2．
（I）求椭圆及双曲线的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为A，B，在第二象限内取双曲线上一点P，连结BP交椭圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点N，若=．求四边形ANBM的面积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出椭圆方程和双曲线方程，由椭圆的离心率是，双曲线的焦距为2联立方程组求出a和b的值，则椭圆及双曲线的方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的椭圆方程求出A和B的坐标，设出M点的坐标，由得M为BP的中点，从而求出P点坐标，把M的坐标代入椭圆方程，把P的坐标代入双曲线方程，联立后求出M和P的具体值，然后把四边形ANBM的面积转化为三角形ANB的面积求解．
解答：解：（I）设椭圆方程为（a＞b＞0）．
则根据题意，双曲线的方程为
，且满足
，解方程组得
∴椭圆的方程为，双曲线的方程；
（Ⅱ）由（I）得A（-5，0），B（5，0），|AB|=10．
设M（x，y），则由得M为BP的中点，所以P点坐标为（2x-5，2y），
将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，得
，
消去y，得
解之得或x=5（舍）
所以，由此可得，
所以．
当P为时，直线PA的方程是
即．
代入，得2x²+15x+25=0
所以或-5（舍），
所以，x_N=x_M，MN⊥x轴．
所以．
点评：本题主要考查了圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查了数学转化思想方法，直线与圆锥曲线问题的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．