Question

经过调查发现，某种新产品在投放市场的100天中，前40天，其价格直线上升，（价格是一次函数），而后60天，其价格则呈直线下降趋势，现抽取其中4天的价格如下表所示：

时间	第4天	第32天	第60天	第90天
价格/千元	23	30	22	7

（1）写出价格f（x）关于时间x的函数表达式（x表示投入市场的第x天）；
（2）若销售量g（x）与时间x的函数关系是g（x）=-

1

3

x+

109

3

（1≤x≤100，x∈N），求日销售额的最大值，并求第几天销售额最高？

Answer 1

分析：（1）价格直线上升，直线下降；说明价格函数f（x）是一次函数，由表中对应关系用待定系数法易求f（x）的表达式；
（2）由销售额=销售量×时间，得日销售额函数S（x）的解析式，从而求出s（x）的最大值．

解答：解：（1）由题意知，当1≤x＜40时，一次函数y=ax+b过点A（4，23），B（32，30）；
代入函数求得a=

1

4

，b=22；
当40≤x≤100时，一次函数y=ax+b过点C（60，22），D（90，7）；
代入函数求得a=-

1

2

，b=52；
∴函数解析式为：y=f(x)=

1 4 x+22，(1≤x＜40，x∈N) - 1 2 x+52  &(40≤x≤100，x∈N)

（2）设日销售额为S千元，当1≤x＜40时，s（x）=(

1

4

x+22)•(-

1

3

x+

109

3

)=-

1

12

(x-

21

2

)2+

38809

48

；
∴当x=10或11时，函数有最大值s（x）_max=

9702

12

=808.5（千元）；
当40≤x≤100时，s（x）=(-

1

2

x+52)•(-

1

3

x+

109

3

)=

1

6

(x2-213x+11336)；
∴当x=40时，s（x）_max=736（千元）．
综上所知，日销售额最高是在第10天或第11天，最高值为808.5千元．

点评：本题是建立函数模型，考查求分段函数的解析式和最大值的应用题，这里是求二次函数在闭区间上的最大值，因计算量大，有点难度．