Question

【题目】已知函数f（x）＝axex，g（x）＝x2+2x+b，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）都过点P（1，c）．且在点P处有相同的切线l．

（Ⅰ）求切线l的方程；

（Ⅱ）若关于x的不等式k[ef（x）]≥g（x）对任意x∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）4x﹣y﹣2＝0；（Ⅱ）k≤e

【解析】

（I）根据切点和斜率列方程，解方程组求得的值，进而求得切线方程.

（II）构造函数，利用导数研究的单调性，对进行分类讨论，结合恒成立，由此求得的取值范围.

（Ⅰ）∵f′（x）＝aex（x+1），g′（x）＝2x+2，由已知可得，

即，解得a，b＝﹣1，c＝2，∴切线的斜率g′（1）＝4，

∴切线l的方程为y﹣2＝4（x﹣1），即4x﹣y﹣2＝0，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）＝2xex﹣1，g（x）＝x2+2x﹣1，设h（x）＝k[ef（x）]﹣g（x）＝2kxex﹣（x2+2x﹣1），

即h（x）≥0，对任意x∈[﹣1，+∞）恒成立，从而h（x）min≥0，

∴h′（x）＝2k（x+1）ex﹣2（x+1）＝2（x+1）（kex﹣1），

①当k≤0时，h′（x）≤0，h（x）在[﹣1，+∞）上单调递减，又h（1）＝2ke﹣2＜0，显然h（x）≥0不恒成立，

②当k＞0时，h′（x）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣lnk，

（i）当﹣lnk＜﹣1时，即k＞e时，h′（x）≥0，h（x）单调递增，

又h（x）min＝h（﹣1）20，显然h（x）≥0不恒成立，

（ii）当﹣lnk＝﹣1时，即k＝e时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，

∴h（x）min＝h（﹣1）20，即h（x）≥0恒成立，

（iii）当﹣lnk＞﹣1时，即0＜k＜e时，

当x∈[﹣1，﹣lnk）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（﹣lnk，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，

∴h（x）min＝h（﹣lnk）＝-2lnk﹣（ln2k﹣2lnk﹣1）＝1﹣ln2k≥0，解得k≤e，∴k＜e，

综上所述得：k≤e．