Question

若函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)=(1-4m)

x

在[0，+∞）上是增函数，则a=（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  3

• C．

  1

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：利用函数f（x）的最大值为4，先确定a的值，然后利用函数g(x)=(1-4m)

x

在[0，+∞）上是增函数，确定a即可．

解答：解：①若a＞1，则函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，2]上单调递增，
则由f（2）=4，得a²=4，解得a=2．此时最小值m=f（-1）=2-1=

1

2

．
②若0＜a＜1，则函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，2]上单调递减，
则由f（-1）=4，得a^-1=4，解得a=

1

4

．此时最小值m=f（2）=（

1

4

） 2=

1

16

．
∴m=

1

2

或

1

16

．
∵函数g(x)=(1-4m)

x

在[0，+∞）上是增函数，
∴1-4m＞0，解得m＜

1

4

．
综上：m=

1

16

，此时a=

1

4

．
故选A．

点评：本题主要考查指数函数和幂函数的单调性，注意对底数a要进行分类讨论．