分析 (Ⅰ)由已知得Q(ρ,θ),P(ρ′,α),由|OP|•|OQ|=6,得2ρcosθ=1,由此能求出曲线C2的直角坐标方程.
(Ⅱ)求出曲线C1:x2+y2-2x=0,曲线C2:x=3,直线l:y=$\sqrt{3}x$,由此能求出|AB|.
解答 解:(Ⅰ)∵P为曲线C1:ρ=2cosθ上的任意一点,点Q在射线OP上,
∴Q(ρ,θ),P(ρ′,α),
∵满足|OP|•|OQ|=6,∴ρ•ρ′=6,
∵M是C1上任意一点,∴ρ2sinθ=3,即ρ1=3sinθ.
∴曲线C2的极坐标方程为ρ=3sinθ,
∴x=3.
即曲线C2的直角坐标方程x=3.
(Ⅱ)曲线C1:p=2cosθ,即ρ2=2ρcosθ,
∴曲线C1:x2+y2-2x=0,是以(1,0)为圆心,以$r=\frac{1}{2}\sqrt{(-2)^{2}}$=1为半径的圆,
曲线C2:x=3,
直线l:θ=$\frac{π}{3}$,即y=$\sqrt{3}x$,
取立$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$,
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-1=0}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$,
∵直线l:θ=$\frac{π}{3}$分别交C1与C2于点A、B两点,
∴|AB|=$\sqrt{(\frac{1}{2}-3)^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2}-3\sqrt{3})^{2}}$=5.
点评 本题考查曲线的直角坐标的求法,考查线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意极坐标和直角坐标互化公式、两点间距离公式的合理运用.
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