Question

14．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}m{x^2}-8ax+n，x＜1\\ log_a^x\begin{array}{l}{\begin{array}{l}，{x≥1}\end{array}}\end{array}\end{array}\right.$，其中m为函数$g（x）=2x+\sqrt{x-1}$的最小值，n为函数$h（x）={3^{1-{x^2}}}$的最大值，且对任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{2}]$
• B． （1，2]
• C． $[\frac{5}{8}，1）$
• D． $[\frac{1}{2}，\frac{5}{8}]$

Answer 1

分析 分别根据复合函数的单调性求出m，n的值，再由题意得到f（x）为减函数，根据二次函数和对数函数的性质即可求出a的取值范围．

解答 解：$g（x）=2x+\sqrt{x-1}$，x≥1，
设$\sqrt{x-1}$=t，t≥0，
则g（t）=2t²+t+2
∴g（t）[0，+∞）为增函数，
∴g（t）_min=g（0）=2，
∴m=2，
∵y=1-x²在（-∞，0）为增函数，在（0，+∞）为减函数，
y=3^x在R上为增函数
∴函数$h（x）={3^{1-{x^2}}}$在（-∞，0）为增函数，在（0，+∞）为减函数，
∴h（x）_max=h（0）=3，
∴n=3，
∵对任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$成立，
∴f（x）在R上为减函数，
∴当x≥1时，f（x）=log_ax为减函数，
∴0＜a＜1，
∵当x＜1时，f（x）=2x²-8ax+3也为减函数，
∴$\frac{8a}{2×2}$≥1，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
综上所述a的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$]，
故选：A．

点评 本题考查了复合函数的单调性，分段函数，函数的最值，参数耳朵取值范围，属于中档题．