Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且函数是偶函数又在区间上递增．给出四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）是奇函数；③函数f（x）图象关于点（1，0）对称；④函数f（x）在区间上递减．其中所有正确命题的序号是________．

Answer 1

①②③④
分析：①由f（x+1）=-f（x），可得f[（x+1）+1]=f（x），由周期函数的定义可以判断①的正误；
②利用是偶函数，采用换元法，结合周期性可判断其奇偶性；
③设出y=f（x）上任意一点P（x₀，y₀）关于（1，0）的对称点为P′（2-x₀，-y₀），由曲线关于点对称的定义去判断正误；
④利用函数是偶函数，又在区间上递增，结合函数的周期性可以判断其正误．
解答：∵f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期函数，①正确；
∵是偶函数，∴f（-x+）=，令-x+=t，有f（t）=f（1-t），∴有f（x）=f（1-x）；（1）
又f（x+1）=-f（x），∴f（-x+1）=-f（-x），（2），由（1）（2）得-f（-x）=f（x），即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数；②正确；
设P（x₀，y₀）为y=f（x）上任意一点，点P关于（1，0）的对称点为P′（2-x₀，-y₀），由①②正确可知，
f（2-x₀）=f（-x₀）=-f（x₀）=-y₀，即P′（2-x₀，-y₀）也在y=f（x）上，即函数f（x）图象关于点（1，0）对称，③正确；
∵函数是偶函数，又在区间上递增，∴f（x）在上递减，又f（x+2）=f（x），∴函数f（x）在区间上递减，④正确；
故答案为：①②③④．
点评：本题考查函数奇偶性的性质，难点在于对抽象函数y=f（x）函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．