Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据

（1）写出函数f（x）（x∈R）的增区间；
（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；
（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，，

则f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）

（2）解：令x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=x2﹣2x

∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x

∴解析式为f（x）=

（3）解：g（x）=x2﹣2x﹣2ax+2，对称轴为x=a+1，

当a+1≤1时，g（1）=1﹣2a为最小；

当1＜a+1≤2时，g（a+1）=﹣a2﹣2a+1为最小；

当a+1＞2时，g（2）=2﹣4a为最小；

∴g（x）=

【解析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，由图象可得f（x）的单调递增区间；（2）令x＞0，则﹣x＜0，根据条件可得f（﹣x）=x2﹣2x，利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x，从而可得函数f（x）的解析式；（3）先求出抛物线对称轴x=a﹣1，然后分当a﹣1≤1时，当1＜a﹣1≤2时，当a﹣1＞2时三种情况，根据二次函数的增减性解答．
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和二次函数在闭区间上的最值，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；当时，当时，；当时在上递减，当时，即可以解答此题．