Question

【题目】已知函数f（x）=x3+x﹣16，
（1）求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程．
（2）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=﹣ x+3垂直，求切点坐标与切线的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（2）=23+2﹣16=﹣6，∴点（2，﹣6）在曲线上．

∵f′（x）=（x3+x﹣16）′=3x2+1，

∴在点（2，﹣6）处的切线的斜率为k=f′（2）=3×22+1=13．

∴切线的方程为y=13（x﹣2）+（﹣6），即y=13x﹣32

（2）解：∵切线与直线y=﹣ +3垂直，

∴斜率k=4，∴设切点为（x0，y0），

则f′（x0）=3x +1=4，

∴x0=±1，

x0=1时，y0=﹣14；x0=﹣1，y0=﹣18，

即切点坐标为（1，﹣14）或（﹣1，﹣18）．

切线方程为y=4（x﹣1）﹣14或y=4（x+1）﹣18．

即y=4x﹣18或y=4x﹣14

【解析】（1）确定点（2，﹣6）在曲线上，求导函数，可得切线斜率，从而可得切线方程；（2）利用曲线y=f（x）的某一切线与直线y=﹣ x+3垂直，可得斜率的积为﹣1，从而可求切点坐标与切线的方程．