Question

已知f(x)=

1 x -1

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）由题意列出

1

x

-1≥0，通分变形后求出不等式得解集，是所求的定义域；
（2）先根据解析式判断出是减函数，再用定义法证明函数在定义域内是减函数．

解答：解：（1）要使函数有意义，则

1

x

-1≥0，即

x-1

x

≥0，
解得0＜x≤1，则所求的定义域为（0，1]．
（2）f（x）在（0，1）内单调递减，证明如下：
设0＜x₁＜x₂≤1
则f(x2)-f(x1)=

1 x2 -1

-

1 x1 -1

=

x1-x2 x2x1

1 x2 -1 + 1 x1 -1

＜0．
即f（x₂）＜f（x₁），∴函数f（x）在（0，1]上单调递减．

点评：本题考查了函数的定义域的求法，即利用偶次根号下被开方数大于等于零，列出不等式进行化简求解，证明函数的单调性必须用定义法去证．