Question

8．求下列函数的单调区间：
（1）f（x）=x²-lnx；
（2）f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-2}$；
（3）f（x）=-x³+3x²．

Answer 1

分析 分别求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间．

解答 解：（1）f（x）=x²-lnx，x＞0
∴f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上单调递减，在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上单调递增；
（2）f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-2}$，
∴f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-3）}{（x-2）}$，
令f′（x）＞0，即（x-3）（x-2）＞0，解得x＞3或x＜2，
令f′（x）＜0，解得2＜x＜3，
∴f（x）在（2，3）上单调递减，在（-∞，2），[3，+∞）上单调递增；
（3）：f（x）=-x³+3x²
∴f′（x）=-3x²+6x，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜2，
令f′（x）＜0，解得x＜0，或x＞2，
∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（-∞，0]，[2，+∞）上单调递减．

点评 本题考查了导数和函数单调性的关系，关键是求导，属于基础题．