Question

（2009•普宁市模拟）已知向量p=（sinax，sinax），q=（sinax，-cosax），其中a＞0，若函数f（x）=p•q-

1

2

的图象与直线y=m相切，并且切点的横坐标依次成公差为

π

2

的等差数列．
（Ⅰ）求a、m的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化简函数f（x）=sin²ax-sinax•cosax-

1

2

，利用二倍角公式将f（x）化为f（x）=-

2

2

sin（2ax+

π

4

），结合函数图象可得所以m为f（x）的最大值或最小值；根据周期求出a的值，
（Ⅱ）然后再利用三角函数的单调性求函数f（x）的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=-sinax•cosax+sin²ax-

1

2

（a＞0）=-

1

2

sin2ax+

1-cos2ax

2

=-

2

2

sin(2ax+

π

4

)（3分）
因为y=f（x）的图象与y=m相切．所以m为f（x）的最大值或最小值．
即m=

2

2

或m=

- 2

2

．
因为切点的横坐标依次成公差为

π

2

的等差数列，所以f（x）的最小正周期为

π

2

．
由T=

2π

2a

=

π

2

得a=2．
∴f（x）=-

2

2

sin（4x+

π

4

）．
（Ⅱ）由题设知，∴f（x）=-

2

2

sin（4x+

π

4

），
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z
∴f（x）的单调减区间 [kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z（12分）

点评：本题考查平面向量数量积的运算、正弦函数的单调性，等差数列的性质，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，是中档题．