Question

【题目】已知函数f(x)=lnx - .

(1)求函数f(x)的单调递增区间;

(2)证明:当x>1时,f(x)<x-1;

(3)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k(x-1).

Answer 1

【答案】(1) (0, ) (2)见解析(3) (-∞,1)

【解析】试题分析：（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（2）构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，可得函数利用单调性的最大值为 ，从而可得结论；（3）根据（2）可得， 不合题意， 不合题意，当 时利用导数研究函数的单调性与极值，可得时，符合题意.

试题解析：(1)解:f′(x)= -x+1=,x∈(0,+∞),

由f′(x)>0,得

解得0<x<.

故f(x)的单调递增区间是(0, ).

(2)证明:令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞),

则F′(x)= .

当x∈(1,+∞)时,F′(x)<0,

所以F(x)在[1,+∞)上单调递减,

故当x>1时,F(x)<F(1)=0,即当x>1时,f(x)<x-1.

(3)解:由(2)知,当k=1时,不存在x0>1满足题意.

当k>1时,对于x>1,有f(x)<x-1<k(x-1),

则f(x)<k(x-1),

从而不存在x0>1满足题意.

当k<1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞),

则G′(x)= -x+1-k=,

由G′(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0,

解得x1=<0, x2=>1.

当x∈(1,x2)时,G′(x)>0,故G(x)在[1,x2)内单调递增,从而当x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,即f(x)>k(x-1),

综上,k的取值范围是(-∞,1).