Question

如图，椭圆=1(a＞b＞c)的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，过椭圆的右焦点F作垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于P点.若点D满足 (λ≠0).

(Ⅰ)求椭圆的离心率；

(Ⅱ)若椭圆的长轴长等于4，Q是椭圆右准线l上异于点A的任意一点，A₁、A₂分别是椭圆的左、右顶点，直线QA₁、QA₂与椭圆的另一个交点分别为M、N，求证：直线MN与x轴交于定点.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵椭圆方程为

，(a＞b＞0，c＞0，c²=a²-b²)

∴A(,0)

F(c，0)，B(0，b)，P(c,)，

∵   ∴D为FP的中点

∴D点坐标为(c,)

∵

∴D在线段AB上

∵直线AB的方程为：=1

∴c·=1

化简得  3a²=4c²

∴e=

(Ⅱ)∵椭圆的长轴长等于4，∴a=2，b=1，c=

设直线QA₁和QA₂斜率分别为k₁，k₂，则由

(1+)x²+16x+16-4=0

解得   x_M= 

由

(1+4)x²-16x+16-4=0

解得   x_N=

直线MN的方程为，令y=0

得x=化简得  x=2×

∵y_Q=k₁(+2)=k₂(-2)

∴ 

∴

∴x=2

即直线MN与x轴交于定点(,0).