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16.已知双曲线M:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的一条渐近线方程是$\sqrt{3}$x+y=0,点D(1,$\sqrt{2}$)在C上,过点(0,1)且斜率为k的直线1与双曲线M交于不同的两点A、B.
(1)求双曲线M的方程;
(2)若以线段AB为直径的圆经过坐标原点O,求实数k的值.

分析 (1)点D(1,$\sqrt{2}$)代入双曲线方程,结合且双曲线的一条渐近线的方程是$\sqrt{3}$x+y=0,建立方程,求出a,b,即可求双曲线C的方程;
(2)直接联立直线与双曲线方程,化为关于x的一元二次方程,存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为kOA•kOB=-1,即x1x2+y1y2=0,整理后代入根与系数关系求解实数k的值.

解答 解:(1)∵双曲线M:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的一条渐近线方程是$\sqrt{3}$x+y=0,点D(1,$\sqrt{2}$)在C上,
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$,$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{{b}^{2}}$=1,
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,b=1,
∴双曲线M的方程为3x2-y2=1;
(2)∵直线l过点(0,1)且斜率为k,
∴直线l:y=kx+1.
代入双曲线方程得(3-k2)x2-2kx-2=0.
设点A、B的坐标为(x1,y1)、(x2,y2).            
∴x1+x2=$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$
又以线段AB为直径的圆经过坐标原点,
则kOA•kOB=-1,即x1x2+y1y2=0,
∴x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=0,
即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,
∴(k2+1)×$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$+k×$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$+1=0,解得k=±1.
又k=±1满足3-k2≠0且△=(-2k)2+8(3-k2)>0,
∴所求实数k=±1.

点评 本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方法,训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系,是中档题.

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