Question

设点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），T（x₀，f（x₀））在函数f（x）=x³-ax（a＞0）的图象上，其中x₁，x₂是f（x）的两个极值点，x₀（x₀≠0）是f（x）的一个零点，若函数f（x）的图象在T处的切线与直线AB垂直，则a=

3

2

．

Answer 1

分析：先把函数的零点求出来，再对函数f（x）求导并求出其零点，列出表格和画出图象，利用在斜率存在的条件下两条直线垂直的充要条件k₁k₂=-1即可求出答案．

解答：解：令f（x）=0，（a＞0），则x(x+

a

)(x-

a

)=0，解得x=0，±

a

．
∵x₀（x₀≠0）是f（x）的一个零点，∴x0=-

a

或x0=

a

．
∵f^′（x）=3x²-a=3(x+

3a

3

)(x-

3a

3

)，
令f^′（x）=0，解得x=±

3a

3

，列表如下：
由表格可知：当x=

3a

3

时，函数f（x）取得极小值，且f(

3a

3

)=-

2a 3a

9

；
当x=-

3a

3

时，函数f（x）取得极大值，且f(-

3a

3

)=

2a 3a

9

；
不妨设A(-

3a

3

，

2a 3a

9

)，B(

3a

3

，-

2a 3a

9

)．∴KAB=

-2a

3

．
根据表格作出如下图象：
①当x0=

a

时．f′(

a

)=2a，
∵函数f（x）的图象在T处的切线与直线AB垂直，
∴-

2a

3

×2a=-1，（a＞0），解得a=

3

2

．
②当x0=-

a

时．f′(

a

)=2a，
∵函数f（x）的图象在T处的切线与直线AB垂直，
∴-

2a

3

×2a=-1，（a＞0），解得a=

3

2

．
综上可知：满足条件的a的值为

3

2

．
故答案为

3

2

．

点评：充分利用导数研究函数的性质和理解函数的零点是解题的关键．