Question

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log₂3且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲证f（x）为奇函数即要证对任意x都有f（-x）=-f（x）成立．在式子f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x可得f（0）=f（x）+f（-x）于是又提出新的问题，求f（0）的值．令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0）即f（0）=0，f（x）是奇函数得到证明．
（2）先将不等关系f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0转化成f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2），再结合函数的单调性去掉“f”符号，转化为整式不等关系，最后利用分离系数法即可求实数k的取值范围．

解答：解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①
令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=-x，代入①式，得f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有
0=f（x）+f（-x）．即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．
（2）解：f（3）=log₂3＞0，即f（3）＞f（0），
又f（x）在R上是单调函数，
所以f（x）在R上是增函数，
又由（1）f（x）是奇函数．
f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
k•3^x＜-3^x+9^x+2，
令t=3^x＞0，分离系数得：k＜-1+t+

2

t

，
问题等价于k＜-1+t+

2

t

，对任意t＞0恒成立．
∵-1+t+

2

t

≥-1+2

2

，
∴k＜-1+2

2

．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．说明：问题（2）本题解法：是根据函数的性质．f（x）是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f（t）=t²-（1+k）t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f（t）进行研究求解．