Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，$\sqrt{3}$）和$\overrightarrow{b}$=（1，m），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，求m的值；
（2）若m=$\sqrt{3}$，求$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角θ的大小．

Answer 1

分析 （1求出$\overrightarrow{c}$坐标，由向量垂直得到数量积为0，解得m．
（2）利用数量积公式可求夹角．

解答 解：（1）$\overrightarrow c=\overrightarrow b-\overrightarrow a=（-2，m-\sqrt{3}）$…（1分）
$\overrightarrow a•\overrightarrow c=3×（-2）+\sqrt{3}×（m-\sqrt{3}）=\sqrt{3}m-9$…（2分）
由$\overrightarrow a⊥\overrightarrow c$，得$\overrightarrow a•\overrightarrow c=0$…（3分）
解得：$m=3\sqrt{3}$…（4分）
（2）若$m=\sqrt{3}$，则$\overrightarrow b=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow c=（-2，0）$…（6分）
$|\overrightarrow b|=\sqrt{{1^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}}=2$，$|\overrightarrow c|=\sqrt{{{（-2）}^2}+{0^2}}=2$，$\overrightarrow b•\overrightarrow c=1×（-2）+\sqrt{3}×0=-2$…（9分）
$cosθ=\frac{\overrightarrow b•\overrightarrow c}{|\overrightarrow b|•|\overrightarrow c|}$=$\frac{-2}{2×2}=-\frac{1}{2}$…（11分）
∵0≤θ≤π，
∴$θ=\frac{2π}{3}$…（12分）

点评 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量垂直数量积的性质、利用数量积公式求向量的夹角；注意向量夹角的范围是[0，π]．