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已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式:
(Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an=
b1
2
+
b2
22
+
b3
23
+…
bn
2n
(n为正整数),求数列{bn}的前n项和Sn
(Ⅲ)设Tn为数列{nsn}的前n项和,求Tn
分析:(1)设等差数列an的公差为d,则依题设d=2,a1=1,从而能够得到数列{an}的通项公式.
(2)令cn=
bn
2n
,则有an=c1+c2+…+cn,an+1=c1+c2+…+cn+1,从而得到a1=1,an+1-an=2,由此能够导出bn=
2   (n=1)
2n+1(n≥2)
,从而得到Sn=2n+2-6.
(3)先分别求出数列{n•2n+2}和数列{6n}的前n项和,二者相减即可得到数列{n•2n+2-6n}的前n项和.
解答:解:(1)解:设等差数列an的公差为d,则依题设d>0
由a2+a7=16.得2a1+7d=16①
由a3•a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55②
由①得2a1=16-7d将其代入②得(16-3d)(16+3d)=220.
即256-9d2=220
∴d2=4,又d>0,∴d=2,代入①得a1=1
∴an=1+(n-1)•2=2n-1
(2)令cn=
bn
2n
,则有an=c1+c2+…+cn,an+1=c1+c2+…+cn-+1(4分)
两式相减得
an+1-an=cn+1,由(1)得a1=1,an+1-an=2
∴cn+1=2,cn=2(n≥2),即当n≥2时,bn=2n+1
又当n=1时,b1=2a1=2
bn=
2   (n=1)
2n+1(n≥2)

于是Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+23+24+…+2n+1
=2+22+23+24+…+2n+1-4=
2(2n+1-1)
2-1
-4=2n+2
即Sn=2n+2-6(9分)
(3)数列{n•2n+2}的前n项和为T1=(n-1)•2n+3+8(12分)
数列{6n}的前n项和为T2=3n2+3n(13分)
所以,数列{n•2n+2-6n}的前n项和为T1-T2=(n-1)•2n+3+8-3n2-3n(14分)
点评:本题考查数列的性质和应用,具有一定的难度,解题时要注意挖掘题设条件,合理解答.
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-3012
-3012

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3n
2
,n是正偶数
3n-1
2
,n是正奇数
3n
2
,n是正偶数
3n-1
2
,n是正奇数

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定义“等积数列”:在一个数列中,如果每一项和它的后一项的积都为同一个常数,那么这个数列叫做等积数列.这个常数叫做等积数列的公积.已知{an}是等积数列,且a1=1,公积为2,则这个数列的前n项的和Sn=______.

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