Question

【题目】在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（ ， ）；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（ ， ），则点A′（ ， ）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；
②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；
③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣ ， ），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；
④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则
∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（ ， ），∴ ，∴x=﹣ ，y=
∵m= ，∴代入整理可得 n﹣1=0表示圆，故不正确．
所以答案是：②③．
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．