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9.如图所示,在三棱锥D-ABC中,AB=BC=CD=2,AD=2$\sqrt{3}$,∠ABC=90°,平面ACD⊥平面ABC.
(1)求证:AB⊥BD;
(2)求点C到平面ABD的距离.

分析 (1)推导出CD⊥AC,AB⊥DC,从而AB⊥平面BCD,由此能证明AB⊥BD.
(2)由VC-ABD=VD-ABC,能求出点C到平面ABD的距离.

解答 证明:(1)在Rt△ABC中,∵AB=BC=CD=2,AD=2$\sqrt{3}$,∠ABC=90°
∴$AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$,
∵AC2+CD2=AD2,∴CD⊥AC,
又平面DAC⊥平面ABC,∴DC⊥平面ABC,∴AB⊥DC,
又AB⊥BC,BC∩DC=C,
∴AB⊥平面BCD,
又BD?平面BCD,∴AB⊥BD.
解:(2)∵VC-ABD=VD-ABC
设点C到平面ABD的距离为h,
∴$\frac{1}{3}h•{S}_{△ABD}=\frac{1}{3}CD•{S}_{△ABC}$,
∵${S}_{△ABD}=2\sqrt{2}$,S△ABC=2,
解得h=$\sqrt{2}$,
∴点C到平面ABD的距离为$\sqrt{2}$.

点评 本题考查线线垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

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