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关于函数f(x)=lg
x2+1|x|
(x≠0,x∈R)
有下列命题:
①函数y=f(x)的图象关于y轴对称;
②在区间(-∞,0)上,函数y=f(x)是减函数;
③函数f(x)的最小值为lg2;
④在区间(1,∞)上,函数f(x)是增函数.
其中正确命题序号为
①③④
①③④
分析:函数f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,再由函数t(x)=x+
1
x
   ,x>0
,的单调性可判其他命题.
解答:解:∵函数f(x)=lg
x2+1
|x|
(x≠0,x∈R)
,显然f(-x)=f(x),即函数f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,
故①正确;当x>0时,f(x)=lg
x2+1
|x|
=lg
x2+1
x
=lg(x+
1
x
)
,令t(x)=x+
1
x
   ,x>0
,则t′(x)=1-
1
x2

可知当x∈(0,1)时,t′(x)<0,t(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,t′(x)>0,t(x)单调递增,
即在x=1处取到最小值为2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误,③正确,④正确.
故答案为:①③④.
点评:本题为函数的性质的应用,正确运用函数的性质及图象的关系式解决问题的关键,属基础题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

有下列四个命题:
(1)一定存在直线l,使函数f(x)=lgx+lg
12
的图象与函数g(x)=lg(-x)+2的图象关于直线l对称;
(2)在复数范围内,a+bi=0?a=0,b=0
(3)已知数列an的前n项和为Sn=1-(-1)n,n∈N*,则数列an一定是等比数列;
(4)过抛物线y2=2px(p>0)上的任意一点M(x°,y°)的切线方程一定可以表示为y0y=p(x+x0).
则正确命题的序号为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=sin(2x-
π
6
)
的图象为L,下列说法不正确的是(  )
A、图象L关于直线x=
6
对称
B、图象L关于点(
12
,0)
对称
C、函数f(x)在(-
π
6
π
3
)
上单调递增
D、将L先向左平移
π
12
个单位,再将所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍(纵坐标不变),得到y=sinx的图象

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列五个命题:
①若f′(x0)=0,则函数y=f(x)在x=x0处取得极值;
②若m≥-1,则函数f(x)=log
1
2
(x2-2x-m)
的值域为R;
③“a=1”是“函数f(x)=
a-ex
1+aex
在定义域上是奇函数”的充分不必要条件.
④函数y=f(1+x)的图象与函数y=f(l-x)的图象关于y轴对称;
⑤“x1>1且x2>2”是“x1+x2>3且x1x2>2”的充要条件;
其中正确命题的个数是
②③
②③

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列说法正确的为
①③④
①③④

①函数y=f(x)与直线x=l的交点个数为0或l;
②a∈(
1
4
,+∞)时,函数y=lg(x2+x+a)的值域为R;
③函数y=f(2-x)与函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称;
④若函数f(x)=ax,则?x1,?x2∈R,都有f(
x1+x2
2
)<
f(x1)+f(x2
2

⑤若函数f(x)=log
2
x
,则?x1,x2∈(0,+∞),都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0

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科目:高中数学 来源: 题型:

有下列四个命题:
(1)一定存在直线l使函数f(x)=lgx+lg
1
2
的图象与函数g(x)=lg(-x)+2的图象关于直线l对称
(2)不等式:arcsinx≤arccosx的解集为[
2
2
,1]

(3)已知数列{an}的前n项和为Sn=1-(-1)n,n∈N*,则数列{an}一定是等比数列;
(4)过抛物线y2=2px(p>0)上的任意一点M(x°,y°)的切线方程一定可以表示为y0y=p(x+x0).
则正确命题的序号为
(3)(4)
(3)(4)

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