分析 (1)将x=-1代入得到关于a、b、c的关系式,再由△确定零点个数;
(2)假设存在a,b,c∈R使得条件成立,
由①可知函数f(x)的对称轴是x=-1,令最值为0,由此可知a=c;
由②知将x=1代入可求的a、c与b的值,最后验证成立即可.
解答 解:(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c中,f(-1)=0,
所以a-b+c=0,即b=a+c;
又△=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2,
当a=c时△=0,函数f(x)有一个零点;
当a≠c时,△>0,函数f(x)有两个零点;
(2)假设a,b,c存在,由①知抛物线的对称轴为x=-1,
所以-$\frac{b}{2a}$=-1,即b=2a;
不妨令f(x)的最值为0,
则$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$=0,
即b2=4ac,
所以4a2=4ac,
得出a=c;
由②知对?x∈R,都有0≤f(x)-x≤$\frac{1}{2}$(x-1)2,
不妨令x=1,可得0≤f(1)-1≤0,
即f(1)-1=0,
所以f(1)=1,
即a+b+c=1;
由$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{b=2a}\\{a=c}\end{array}\right.$解得a=c=$\frac{1}{4}$,b=$\frac{1}{2}$;
当a=c=$\frac{1}{4}$,b=$\frac{1}{2}$时,f(x)=$\frac{1}{4}$x2+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$(x+1)2,其顶点为(-1,0)满足条件①,
又f(x)-x=$\frac{1}{4}$(x+1)2,所以对?x∈R,都有0≤f(x)-x≤$\frac{1}{2}$(x+1)2,满足条件②.
所以存在a=$\frac{1}{4}$,b=$\frac{1}{2}$,c=$\frac{1}{4}$时,f(x)同时满足条件①、②.
点评 本题考查了函数的零点与函数恒成立问题,也考查了综合运用所学知识分析问题解决问题的能力,是综合性问题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -6 | B. | 6 | C. | 8 | D. | 不确定 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目A | 科目B | 科目C | |
甲 | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{4}$ |
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