Question

已知椭圆的一个焦点F₁(0，－2)，对应的准线方程为y＝－，且离心率e满足：，e，成等比数列．

(1)求椭圆方程；

(2)是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x＝－

平分．若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）x²＋y²＝1；（2）存在，直线l倾斜角α∈(，)∪(，)。

解析:

依题意e＝．

(1)∵－c＝

∴a＝3，c＝2，b＝1，

又F₁(0，－2)，对应的准线方程为y＝－．

∴椭圆中心在原点，所求方程为x²＋y²＝1                       

(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x＝－平分，∴直线l的斜率

存在．设直线l：y＝kx＋m

由 消去y，整理得

(k²＋9)x²＋2kmx＋m²－9＝0

∵l与椭圆交于不同的两点M，N，

∴Δ＝4k²m²－4(k²＋9)(m²－9)＞0

即m²－k²－9＜0                  ①

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)

∴，                                         

∴m＝                ②

把②代入①式中得

－(k²＋9)＜0

∴k＞或k＜－

∴直线l倾斜角α∈(，)∪(，)