分析 (1)根据题意,利用同角三角函数基本关系式可求cosα,cosβ,tanα,tanβ,进而利用二倍角的正切函数公式可求tan2α,根据两角差的正切函数公式即可计算tan(2α-β)的值.
(2)由(1)利用两角差的余弦函数公式可求cos(β-α)的值,结合范围β-α∈(0,π),即可得解β-α的值.
解答 (本题满分为12分)
解:(1)根据题意得sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$,sinβ=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$,…(1分)
∴$cosα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$,$cosβ=\frac{{-3\sqrt{10}}}{10}$,…(2分)
∴$tanα=\frac{1}{2}$,$tanβ=-\frac{1}{3}$,…(3分)
$tan2α=\frac{4}{3}$,…(4分)
∴tan(2α-β)=$\frac{tan2α-tanβ}{1+tan2αtanβ}$=3.…(6分)
(2)cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα…(7分)
=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,…(10分)
∵由题意β-α∈(0,π),
∴β-α=$\frac{3π}{4}$.…(12分)
点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正切函数公式,两角差的正切函数公式,两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.
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