Question

20．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB=-bcosC
（1）求角B的大小；
（2）若b=7，a+c=8，求a、c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：2sinAcosB=-sinA，结合sinA＞0，即可解得B的值．
（2）利用余弦定理及（1）可得b²=49=64-ac，可得ac=15，结合a+c=8，即可求得a、c的值．

解答 解：（1）由正弦定理可得：（2sinA+sinC）cosB=-sinBcosC，
∴2sinAcosB=-sinBcosC-cosBsinC=-sin（B+C）=-sinA，
又∵sinA＞0，∴$cosB=-\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{2π}{3}$…（7分）
（2）b²=49=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac=（a+c）²-ac=64-ac，
∴ac=15，
又∵a+c=8，∴$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ c=5\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}a=5\\ c=3\end{array}\right.$…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角函数恒等变换的应用，属于基础题．